Câu hỏi của le tra my

Question

Chứng minh rằng với n thuộc N sao, phân số sau là phân số tối giản

$\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$

Nguyễn Thanh Hằng · Accepted Answer

Gọi $d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n^2+1⋮d$

Mà $n^3+2n⋮d$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow n⋮d$

Mà $n^2+1⋮d$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow1⋮d$

Vì $d\in N$; $1⋮d$ $\Rightarrow d=1$

$\RightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1$

Vậy phân số $\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ tối giản với mọi $n\in N$

$\Rightarrowđpcm$

~~Chúc bn học tốt~~Câu trả lời: Gọi $d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)$