Question

chứng minh rằng: P_n = (n-1)P_n-1 + (n-2)P_n-2 + ... + 2P₂ + P₁ +1, với n∈N,n≥2

Answer 1

- Với \(n=2\Rightarrow P_2=2!=2=1!+1\) (đúng)

- Với \(n=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P_3=3!=6\\2P_2+P_1+1=2.2!+1+1=6\end{matrix}\right.\) (đúng)

- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\ge2\) hay:

\(P_k=\left(k-1\right)P_{k-1}+\left(k-2\right)P_{k-2}+...+P_1+1\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay

\(P_{k+1}=k.P_k+\left(k-1\right)P_{k-1}+...+P_1+1\)

Thật vậy, ta có:

\(k.P_k+\left(k-1\right)P_{k-1}+...+P_1+1=k.P_k+P_k\)

\(=\left(k+1\right)P_k=P_{k+1}\) (đpcm)