Qua B kẻ BE//AC cắt CD tại E.
Ta có: AB//CD (ABCD là hình thang)
\(E\in CD\) (theo cách vẽ)
Suy ra: AB//CE
Tứ giác ABEC có: AB//CE
\(\Rightarrow\)ABEC là hình thang
Hình thang ABEC có 2 cạnh bên AC//BE
\(\Rightarrow\) AC=BE
Mà AC=BD (gt)
\(\Rightarrow\)BE=BD
\(\Delta BDE\) có: BE=BD
\(\Rightarrow\)\(\Delta BDE\) cân tại B
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BDE}=\widehat{BED}\)
Mà \(\widehat{ACD}=\widehat{BED}\) (AC//BE)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BDE}=\widehat{ACD}\)
Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta BDC\) có:
CD: cạnh chung
\(\widehat{BDE}=\widehat{ACD}\) (cmt)
AC=BD (gt)
\( \Rightarrow\Delta ACD=\Delta BDC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\) (2 góc tương ứng)
Hình thang ABCD có \(\widehat{ACD}=\widehat{BCD}\)
Suy ra: ABCD là hình thang cân.
Vậy hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
a, Ta có: BE song song AC ( theo bài ra)
AB song song CE ( E thuộc CD)
nên ABEC là hình bình hành, do đó AC=BE
mà AC = BD
nên BD=BE do đó BDE là tam giác cân
b, Ta có AC song song BE nên \(\widehat{BEC}=\widehat{ACD}\)
mà \(\widehat{BED}=\widehat{BDC}\) (BDE là tam giác cân )
do đó \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)
Xét tg ACD và tg BDC có :\(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\) AC=BD(gt)
BC là cạnh chung
nên tg ACD =tg BDC ( c-g-c)
c, Theo chứng minh câu b, ta có: tg ACD= tg BDC
do đó ˆADC=ˆBCD
Vậy ABCD là hình thang cân
