Phân thức đại số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Min Min

Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\le1\) với mọi a,b

Hoàng Tuấn Đăng
11 tháng 5 2017 lúc 17:08

Vơi mọi a, b ta luôn có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng hai vế, ta được đpcm. Dấu '=' xảy ra khi a = b = 1

Nguyễn Tấn Dũng
13 tháng 5 2017 lúc 21:37

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{cases} a \leq \dfrac{a^{2}+1}{2}\\ b \leq \dfrac{b^{2}+1}{2} \end{cases}\) (BĐT này đúng với mọi a,b)

Cộng hai vế này với nhau ta được:

\(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\leq\) \(\dfrac{\dfrac{a^2+1}{2}}{a^2+1}+\dfrac{\dfrac{b^2+1}{2}}{b^2+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\) \(\leq\) 1

Dấu'=' xảy ra khi a=b=1


Các câu hỏi tương tự
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Nguyên Thảo
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
Huỳnh Đăng Khoa
Xem chi tiết
Vũ Thành Hưng
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Phát
Xem chi tiết
Lê Thu Hiền
Xem chi tiết
Vịtt Tên Hiền
Xem chi tiết
Bùi Khánh Ly
Xem chi tiết