Question

Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm :

a) \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}< 1\)

b) \(\sqrt{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}< 2\)

c) \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4-x^2+1}< 2\sqrt[4]{x^6+1}\)

Answer 1

a) Ta có: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2+1}-1\)\(\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right).\dfrac{1}{x^2+1}}-1=2-1=1\).
Vì vậy: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}\ge1\) nên BPT vô nghiệm.

Answer 2

b) Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\ge\)\(2\sqrt{\left(x^2-x+1\right).\dfrac{1}{x^2-x+1}}=2\).
Vì vậy BPT vô nghiệm.

Answer 3

Có: \(2\sqrt[4]{x^6+1}=2\sqrt[4]{\left(x^2+1\right)\left(x^4-x^2+1\right)}\)
Đặt \(a=\sqrt{x^2+1};b=\sqrt{x^4-x^2+1}\). Ta có:
\(a+b< 2\sqrt{ab}\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}< 0\right)\) . Vậy BPT vô nghiệm.