Ta có:
\(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!.k!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-\left(k-1\right)\right)!\left(k-1\right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
Do đó:
\(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)
\(=n.C_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+n\left(C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n.2^{n-1}\)
Chứng minh rằng: \(C^1_n+2C^2_n+3C^3_n+...+nC^n_n=n.2^{n-1}\)
Tìm số hạng trong khai triển nhị thức New-tơn của \(\left(2x^2-\dfrac{3}{x}\right)^n\) biết rằng
\(C^1_n+2C^2_n+3C^3_n+...+nC^n_n=256n\)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức New-tơn của \(\left(2x^2-\dfrac{3}{x}\right)^n\) biết rằng
\(C^1_n+2C^2_n+3C^3_n+...+nC^n_n=256n\)
\(3^n\cdot C^0_n-3^{n-1}\cdot C^1_n+3^{n-2}\cdot C^2_n-...+\left(-1\right)^n\cdot C^n_n=2048\)
Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(A^k_n+2A^2_n=100\) (\(A^k_n\) là số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử). Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức (1+3x)2n
Chứng minh rằng :
a) \(C^{m-1}_{n-1}=\dfrac{m}{n}C^m_n\) \(\left(1\le m\le n\right)\)
b) \(C^m_{m+n}=C^m_{m+n-1}+C^n_{m+n-1}\) \(\left(1\le m,n\right)\)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE= AB a) Chứng minh : tam giác BDE là tam giác cân.
b) AD cắt BE ở I. Tính số đo góc AIB
1/ đội thanh niên có 12hs gồm 5hs lớp A, 4hs lớp B, 3hs lớp C. Cần chọn 4hs sao cho 4hs này thuộc kh quá hai trong ba lớp trên. Hỏi có mấy cách như vây?
2/cho tập hợp A gồm n phần tử, n>=4. Bt rằng số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm n?
3/ có bn số tự nhiên có 3 chữ số dạng abc thỏa a>b>c
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}\)+\(\frac{1}{b+c-a}\)+\(\frac{1}{c+a-b}\)\(\ge\)\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)
