Bài 6: So sánh phân số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Thu Huyền

Chứng minh rằng:

a, M=1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +..+ 1/n^2 <1

Komorebi
15 tháng 3 2018 lúc 18:49

Ta có : \(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3};\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4};...;\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(\Rightarrow M< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(\Rightarrow M< 1-\dfrac{1}{n}< 1\)

Vậy \(M=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< 1\)

Đỗ Vũ Bá Linh
27 tháng 5 2021 lúc 23:42

Để \(M< 1\), ta phải có điều kiện: \(n\in\) R*. Nếu \(n=0\) thì \(M\) không xác định.
\(M=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)
                                                 \(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
                                                 \(=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
Vậy \(M< 1\) với \(n\in\) R*.


Các câu hỏi tương tự
Hoàng Thu Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn ngọc Khế Xanh
Xem chi tiết
Khánh Asuna
Xem chi tiết
Hoàng Thu Huyền
Xem chi tiết
phương hoàng
Xem chi tiết
Tanya
Xem chi tiết
Nguyễn ngọc Khế Xanh
Xem chi tiết
Ngưu Kim
Xem chi tiết
Lê ngọc mai
Xem chi tiết