Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Công chúa bóng đêm

chứng minh a2 + b2 +1 ≥ ab + a + b

Hồng Quang
27 tháng 3 2018 lúc 21:10

\(a^2+1\ge2a;b^2+1\ge2b;a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+1+b^2+1+a^2+b^2\ge2a+2b+2ab\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\left(đpcm\right)\)

Vậy \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

TM Vô Danh
27 tháng 3 2018 lúc 21:35

ta có

\(2\left(a^2+b^2+1\right)-2\left(ab+a+b\right)=2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\)với mọi a,b ta luôn có

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a-1\right)^2\ge\\\left(b-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.0}\)=>\(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

<=>\(2\left(a^2+b^2+1\right)-2\left(ab+a+b\right)\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2+1-ab -a-b\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Đinh Anh Tài
17 tháng 3 2022 lúc 18:57

`a^2+b^2+1geab+a+b`

Áp dụng BĐT cauchy cho hai số dương `a^2;b^2` ta có:

`a^2+b^2ge2sqrt{a^2b^2}=2ab`

Tương tự đối với `b^2;1` và `a^2;1`

`b^2+1ge2sqrt{b^2 . 1}=2b`

`a^2+1ge2sqrt{a^2 . 1}=2a`

`<=>a^2+b^2+b^2+1+a^2+1ge2ab+2b+2a`

`<=>2.(a^2+b^2+1)ge2.(ab+b+a)`

`<=>a^2+b^2+1geab+b+a(ĐPCM)`

Dấu `=` xảy ra khi:`a=b=1`


Các câu hỏi tương tự
Đặng Gia Ân
Xem chi tiết
quang dũng lê
Xem chi tiết
Mạnh Phạm
Xem chi tiết
Mẫn Trương Triệu
Xem chi tiết
F.C
Xem chi tiết
BLACPINK Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Tú
Xem chi tiết
EDOGAWA CONAN
Xem chi tiết