Lời giải:
a) Ta thấy:
\(y=3x^2+6x+5=3(x^2+2x+1)+2\)
\(=3(x+1)^2+2\)
Vì \((x+1)^2\ge 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow y\geq 3.0+2=2\)
Vậy GTNN của $y$ là $2$ tại \((x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)
b)
Xét \(x_1,x_2\in\mathbb{R}|x_1,x_2>-1\). Giả sử \(x_1>x_2\)
Khi đó:
\(y(x_1)-y(x_2)=3x_1^2+6x_1+5-(3x_2^2+6x_2+5)\)
\(=3(x_1^2-x_2^2)+6(x_1-x_2)\)
\(=3(x_1+x_2)(x_1-x_2)+6(x_1-x_2)\)
\(=3(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)\)
Vì \(x_1>x_2>-1\Rightarrow x_1-x_2>0; x_1+x_2+2>0\)
Do đó: \(y(x_1)-y(x_2)=3(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)>0\Rightarrow y(x_1)>y(x_2)\)
Với mọi \(x_1>x_2>-1\in\mathbb{R}\) thì \(y(x_1)>y(x_2)\) nên hàm số đồng biến với mọi $x>-1$
Chứng minh nghịch biến hoàn toàn tương tự, ta chỉ cần chỉ ra \(y(x_1)< y(x_2)\) theo cách trên là được.
