Lời giải:
\(4P=\frac{4(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{(x+y+z+t)^2(x+y+z)(x+y)}{xyzt}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(4P\geq \frac{4t(x+y+z)(x+y+z)(x+y)}{xyzt}\Leftrightarrow P\geq \frac{(x+y+z)^2(x+y)}{xyz}\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM:
\(P\geq \frac{4z(x+y)(x+y)}{xyz}=\frac{4(x+y)^2}{xy}\geq \frac{4.4xy}{xy}=16\)
Vậy GTNN của $P$ là $16$. Giá trị này đạt tại $x+y+z=t; x+y=z; x=y$ hay $t=1; z=\frac{1}{2}; x=y=\frac{1}{4}$