Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
minh nguyen thi

Cho x,y,z là các số thực khác 1 thoả mãn xyz=1 . Chứng minh rằng

\(\dfrac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)

Jup mik vs nha mik can gap lam

Hà Nam Phan Đình
28 tháng 11 2017 lúc 21:45

Đặt \(x=\dfrac{c^2}{ab}\); \(y=\dfrac{a^2}{bc}\); \(z=\dfrac{b^2}{ac}\)

\(\Rightarrow xyz=1\) là điều hiển nhiên

BĐT cần chứng minh tương đương

\(\dfrac{\left(\dfrac{c^2}{ab}\right)^2}{\left(\dfrac{c^2}{ab}-1\right)^2}+\dfrac{\left(\dfrac{a^2}{bc}\right)^2}{\left(\dfrac{a^2}{bc}-1\right)^2}+\dfrac{\left(\dfrac{b^2}{ac}\right)^2}{\left(\dfrac{b^2}{ac}-1\right)^2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}+\dfrac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\dfrac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}\ge1\)

Áp dụng BĐT C.B.S

\(\dfrac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}+\dfrac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\dfrac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(c^2-ab\right)^2+\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ac\right)^2}\)ta phải chứng minh:

\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(c^2-ab\right)^2+\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ac\right)^2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-2\left(abc^2+a^2bc+b^2ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )


Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
What is love?
Xem chi tiết
Đỗ thị như quỳnh
Xem chi tiết
Trung Nguyen
Xem chi tiết
Thảo Công Túa
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết