Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Shiota Nagisa

cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M= \(\frac{x}{x+\sqrt{2019+yz}}\) +\(\frac{y}{y+\sqrt{2019+zx}}\) + \(\frac{z}{z+\sqrt{2019+xy}}\)

ai biết làm thỉ chỉ em với nha, em cám ơn nhiều

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
9 tháng 5 2019 lúc 12:00

Ta có:

\(\sqrt{2019x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}\)\(=\sqrt{x^2+xy+xz+yz}=\sqrt{x^2+yz+x\left(y+z\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:

\(x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow x^2+yz+x\left(y+z\right)\ge x\left(y+z+2\sqrt{yz}\right)\)

\(\Leftrightarrow2019x+yz\ge\left[\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\right]^2\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{2019x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{2019x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{2019x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

CMTT, ta có:

\(\frac{y}{y+\sqrt{2019y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\),\(\frac{z}{z+\sqrt{2019z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\Rightarrow M\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

\(''=''\Leftrightarrow x=y=z=673\)

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
8 tháng 5 2019 lúc 20:25

Đề là \(M=\sum\frac{x}{x+\sqrt{2019+yz}}\) hay \(M=\sum\frac{x}{x+\sqrt{2019x+yz}}\) bạn?

Nếu là đề bạn đúng thì mình bó tay.


Các câu hỏi tương tự
Shiota Nagisa
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
asssssssaasawdd
Xem chi tiết
người bị ghét :((
Xem chi tiết
Hiền Nguyễn Thị
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết