Question

cho x+y=2 tìm giá trị nhỏ nhất của x^2+y^2

Answer 1

x + y = 2 => (x + y)² = x² + 2xy + y² = 4 (1)

Lại có: (x - y)² \(\ge0\) => x² - 2xy + y² \(\ge0\) (2)

Từ (1) và (2) => (x² + 2xy + y²) + (x² - 2xy + y²) \(\ge4\)

=> 2.(x² + y²) \(\ge4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)

Vậy GTNN của x² + y² là 2 khi x = y = 1

Answer 2

BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=4\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)

Dấu = khi x=y=1

Answer 3

x=1

y=1

Answer 4

ta có x^2+y^2>=(x+y)^2

mà x+y=2

=>x^2+y^2>=4

=>x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2>=4

=>x^2+y^2>=2

dấu bằng có <=>x=y=1