Question

cho x+y=1 tìm gtnn của M=x⁴+y⁴

^{giúp với mai mình thi ròi}

Answer 1

\(M=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\)

\(M=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2-2x^2y^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow M\ge\left[1-\frac{1}{2}\right]^2-2.\frac{1}{16}\)\(=\frac{1}{8}\)

\(M_{min}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

dễ Cm được x² +y² ≥ (x+y)²/2

<=> x² +y² ≥ 1/2(x² +y²) + xy

<=> 1/2(x² +y²) -xy ≥ 0

<=> 1/2(x-y)² ≥ 0 ( luôn đúng )

vậy x² + y² ≥ (x+y)²/2 = 1/2

tương tự thì

x^4 + y^4 ≥ (x² +y²)²/2 ≥ (1/2)²/2 = 1/8

vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8

dấu = xảy ra <=> x=y=1/2