Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Thu Trang

Cho x,y>0

Tìm GTNN của:

B= \(\dfrac{x}{y}\)+\(\dfrac{y}{x}\)+\(\dfrac{xy}{x^2+xy+y^2}\)

Akai Haruma
25 tháng 5 2018 lúc 9:08

Lời giải:

Ta có \(B=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}=\frac{8}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}\)

\(=\frac{8}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{x^2+xy+y^2}{9xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}-\frac{1}{9}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)

\(\frac{x^2+xy+y^2}{9xy}+\frac{xy}{x^2+xy+y^2}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}\)

Do đó: \(B\geq \frac{8}{9}.2+\frac{2}{3}-\frac{1}{9}=\frac{7}{3}\Leftrightarrow B_{\min}=\frac{7}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y$



Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
nguyễn rose
Xem chi tiết
Zenitisu
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
duc anh
Xem chi tiết
Lê Ánh Huyền
Xem chi tiết
Duy Cr
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết