Question

cho x,y>0 thay đổi thỏa mãn xy=2. tìm GTNN của \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{2x+y}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(P=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(2x+y\geq 2\sqrt{2xy}=2\sqrt{4}=4\)

Ta có:

\(P=\frac{2x+y}{2}+\frac{8}{2x+y}-\frac{5}{2x+y}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{2x+y}{2}+\frac{8}{2x+y}\geq 2\sqrt{4}=4\) (1)

\(2x+y\geq 4\Rightarrow \frac{5}{2x+y}\leq \frac{5}{4}\Rightarrow -\frac{5}{2x+y}\geq \frac{-5}{4}\) (2)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq 4+\frac{-5}{4}=\frac{11}{4}\)

Vậy P min \(=\frac{11}{4}\Leftrightarrow (x,y)=(1,2 )\)