Question

Cho x,y là các số thực thõa thoả mãn 4x²+y²=1

Tìm GTLN và GTNN của M=\(\dfrac{2x+3y}{2x+y+2}\)

Answer 1

Do \(4x^2+y^2=1\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{sina}{2}\\y=cosa\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{sina+3cosa}{sina+cosa+2}\Leftrightarrow M.sina+M.cosa+2M=sina+3cosa\)

\(\Leftrightarrow\left(M-1\right)sina+\left(M-3\right)cosa=-2M\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(\left(M-1\right)^2+\left(M-3\right)^2\ge\left(-2M\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2M^2+8M-10\le0\)

\(\Leftrightarrow-5\le M\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M_{min}=-5\\M_{max}=1\end{matrix}\right.\)