Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Dũng Ko Quen

cho x,y >0 và x+y=1

cm [ x+ 1/x ]2 + [ y + 1/y ]2 ≥ 25/2

Akai Haruma
16 tháng 4 2021 lúc 21:03

Lời giải: 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$[(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2](1+1)\geq (x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y})^2$

$\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\geq \frac{1}{2}(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{xy})^2$

Mà: 
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$ theo BĐT Cô-si

$\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{\frac{1}{4}})^2=\frac{25}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$ 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
nguyen lan anh
Xem chi tiết
Puncco Phạm
Xem chi tiết
Nuyễn  Thị Thanh Hà
Xem chi tiết
Puncco Phạm
Xem chi tiết
nguyen lan anh
Xem chi tiết
ngô yên vy
Xem chi tiết
Trọng Nghĩa Nguyễn
Xem chi tiết
Ngoc Pham (cute)
Xem chi tiết