Question

Cho x³+y³+z³=3xyz và x+y+z ≠ 0

Giá trị của biểu thưc P = (1+\(\dfrac{x}{y}\))(1+\(\dfrac{y}{z}\))(1+\(\dfrac{z}{x}\)) là

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(x^3+y^3+z^3=3xyz\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)

Vì \(x+y+z\neq 0\Rightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)

\(\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy \((x-y)^2; (y-z)^2;(z-x)^2\geq 0\)

\(\Rightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\). Dấu bằng xảy ra khi

\((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Leftrightarrow x=y=z\)

Khi đó:

\(P=(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})=(1+1)(1+1)(1+1)=8\)