Ta nhận thấy \(2x+3y\) và \(x^2+y^2\) là các thành phần của các đẳng thức Bunhiacốpxki \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) với \(a=2,b=3.\)
Theo bất đẳng thức trên :
\(\left(2x+3y\right)^2\le\left(2^2+3^2\right).52\Rightarrow\left(2x+3y\right)^2\le13.13.4\)
\(\Rightarrow\left|2x+3y\right|\le26\Rightarrow2x+3y\le26.\)Vậy \(MAX_A=26\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\\2x+3y\ge0\end{cases}\)
Thay \(y=\frac{3x}{2}\) vào \(x^2+y^2=52,\)ta được \(x^2+\frac{9x^2}{4}=52\).Giai phương trình này được : \(x=\pm4\).
Với \(x=4\) thì \(y=6\) , thõa mãn ( 2 ) . Với \(x=-4\) thì \(y=-6\), không thõa mãn (2 )
Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta có:
\(\left(2x+3y\right)^2\le\left(2^2+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(2x+3y\right)^2\le13\cdot52\)
\(\Rightarrow\left(2x+3y\right)^2\le676\)
\(\Rightarrow2x+3y\le\sqrt{676}=26\)
\(\Rightarrow A\le26\)
Dấu = khi \(\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}\)và\(\begin{cases}x=-4\\y=-6\end{cases}\)
