Question

Cho x + 2y = 1. TÌm giá trị nhỏ nhất của A = x²+ 2y²

Answer 1

Theo đề: x +2y =1

<=> x = 1 - 2y

Ta có: A = x² + 2y²

= (1-2y)² +2y²

= 1-2y+4y²+2y²

= 1-2y + 6y²

= 6( y² - \(\dfrac{1}{3}\)y+\(\dfrac{1}{36}\)) + \(\dfrac{5}{6}\)

= 6(y-\(\dfrac{1}{6}\))² +\(\dfrac{5}{6}\)

mà 6 (y-\(\dfrac{1}{6}\))² \(\ge\)0 với mọi y

=> 6(y-\(\dfrac{1}{6}\))² +\(\dfrac{5}{6}\)\(\ge\)\(\dfrac{5}{6}\) với mọi y

=> A\(\ge\)\(\dfrac{5}{6}\)

dấu "=" xảy ra khi A nhận GTNN

<=> y = \(\dfrac{1}{6}\), x = \(\dfrac{2}{3}\)

vậy GTNN của A là \(\dfrac{5}{6}\) khi y=\(\dfrac{1}{6}\), x=\(\dfrac{2}{3}\)

Answer 2

\(\left(x^2+2y^2\right)\left(1+2\right)\ge\left(x+2y\right)^2=1\)(bunyakovsky)

\(\Rightarrow x^2+2y^2\ge\dfrac{1}{3}\)

dấu = xảy ra: \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{3}\)