Question

Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC=BD .Gọi M,N,P,Q là trung điẻm của AB, BC,CD,AD. A, chứng minh M P ⊥ N Q B,dựng các tam giác vuông cân ADE,BCF CMR: M N ⊥ E F C,Dựng ngoài các tam giác cân ABX,BCY,CDZ,DAT CMR: X Z ⊥ Y T

Answer 1

a) Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB(gt)

Q là trung điểm của AD(gt)

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔCBD có 

N là trung điểm của BC(gt)

P là trung điểm của CD(gt)

Do đó: NP là đường trung bình của ΔCBD(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà AC=BD(gt)

và \(NP=\dfrac{BD}{2}\)(cmt)

nên MN=NP

Xét tứ giác MQPN có

MQ//NP(cmt)

MQ=NP(cmt)

Do đó: MQPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành MQPN có MN=NP(cmt)

nên MQPN là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ta có: MQPN là hình thoi(cmt)

nên MP\(\perp\)QN(Hai đường chéo của hình thoi MQPN)