Question

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc AD tại F. Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh:

a) CA là phân giác góc BCF

b) Tứ giác BCMF nội tiếp
Minh can chung minh phan b ; ; Phan a minh lam roi ; ;

Answer 1

Lời giải:

a) Mặc dù không yêu cầu nhưng mình cứ làm luôn nhé.

Vì $AD$ là đường kính nên \(\widehat{ACD}=90^0\)

\(EF\perp AD\Rightarrow \widehat{EFD}=90^0\)

Có \(\widehat{ACD}+\widehat{EFD}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow ECDF\) nội tiếp.

Do đó \(\widehat{ACF}=\widehat{EDA}=\frac{1}{2}\text{cung AB}=\widehat{BCA}\)

Suy ra $CA$ là phân giác góc \(\widehat{BCF}\) (đpcm)

b)

Từ kết quả đã cm ở a) suy ra \(\widehat{BCF}=\widehat{BCA}+\widehat{ACF}=2\widehat{BCA}(1)\)

Xét tam giác $EFD$ vuông tại $F$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền nên \(MF=\frac{1}{2}ED=MD\Rightarrow \triangle MFD\) cân tại $M$

\(\Rightarrow \widehat{MFD}=\widehat{MDF}\)

Từ đó suy ra

\(\widehat{BMF}=\widehat{EMF}=\widehat{MFD}+\widehat{MDF}=2\widehat{MDF}=2\widehat{BDA}(2)\)

Từ (1); (2) mà \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}\) (cùng chắn cung AB) nên \(\widehat{BCF}=\widehat{BMF}\) . Do đó $BCMF$ nội tiếp (đpcm)