cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O, R) (AB <CD). gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I.
a, chứng minh tứ giác CKID nội tiếp được và IK//AB
b, chứng minh AP2=PE.PD=PF.PC
c, chứng minh AP là tiếp tuyến của đường trong ngoại tiếp tam giác AED
Câu a:
Ta có : P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB
\(\Rightarrow\) cung PA = cung PB
\(\Rightarrow\) ADP = PCB (2 góc nội tiếp chắng 2 cung bằng nhau)
\(\Leftrightarrow\) IDK = ICK
Xét tứ giác CKID có :
IDK = ICK (chứng minh trên)
Mà IDK và ICK là 2 góc kề nhau cùng chắng cung IK của tứ giác CKID
\(\Rightarrow\) tứ giác CKID là tứ giác nội tiếp (đpcm)
Ta có : CDA = CBA (2 góc nội tiếp cùng chắng cung CA của (O))
Mà CDI = CKI (2 góc nội tiếp cùng chắng cung IC của tứ giác CKID)
\(\Rightarrow\) CKI = CBA
Mà CKI và CBA nằm ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow\) AB//IK (đpcm)
Câu b:
Xét \(\Delta\) PAE và \(\Delta\) PDA
Ta có : PAB = ADP (cung AP bằng cung PB)
Góc P chung
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) PAE đồng dạng \(\Delta\) PDA
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{PA}{PD}\) = \(\dfrac{PE}{PA}\) \(\Leftrightarrow\) PA2 = PE . PD (1)
Xét \(\Delta\) PAF và \(\Delta\) PCA
Ta có : PAB = PCA (cung AP bằng cung PB)
Góc P chung
\(\Rightarrow\)\(\Delta\) PAF đồng dạng \(\Delta\) PCA
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{PA}{PC}\) = \(\dfrac{PF}{PA}\) \(\Leftrightarrow\) PA2 = PF . PC (2)
Từ (1) và (2) ta có PA2 = PE . PD = PF . PC (đpcm)
