Question

Cho đường tròn (O), dây AB. Các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nha tại C. Trên dây AB lấy điểm E(EA>EB). Đường vuông góc với OE tại E cắt CA và CB theo thứ tự ở I và K. Chứng minh rằng

1)    OAEI, OEBK là các tứ giác nội tiếp            3) AI = BK

2)     OIK là tam giác cân                                  4) OICK là tứ giác nội tiếp

Answer 1

1: Xét tứ giác OAEI có \(\widehat{OAI}+\widehat{OEI}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAEI là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác OEBK có \(\widehat{OEK}=\widehat{OBK}=90^0\)

nên OEBK là tứ giác nội tiếp

2: Ta có: OAEI là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{OIE}=\widehat{OAE}=\widehat{OAB}\left(1\right)\)

Ta có: OEBK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{OKE}=\widehat{OBE}=\widehat{OBA}\left(2\right)\)

Ta có: ΔOAB cân tại O

=>\(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{OIE}=\widehat{OKE}\)

=>\(\widehat{OIK}=\widehat{OKI}\)

=>ΔOKI cân tại O

3: Xét ΔOAI vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có

OA=OB

OI=OK

Do đó: ΔOAI=ΔOBK

=>AI=BK

4: Xét tứ giác OACB có \(\widehat{OAC}+\widehat{OBC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OACB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{OAB}=\widehat{OCB}\)

mà \(\widehat{OAB}=\widehat{OIK}\)

nên \(\widehat{OIK}=\widehat{OCK}\)

=>OICK là tứ giác nội tiếp