Question

Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của AC và BD

Chứng minh 1/2 chu vi ABCD < OA + OB +OC +OD < chu vi ABCD

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\OD+OA>AD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+DA\)

\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{1}{2}\) chu vi ABCD (1)

Ta có \(OA+OB+OC+OD=AC+BC\)

Theo bđt trong tam giác có

\(AC< AB+BC;AC< AD+DC\Rightarrow2AC< CVABCD\)

\(BD< AB+AD;BD< BC+CD\Rightarrow2BD< CVABCD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)< 2CVABCD\)

\(\Rightarrow AC+BD< CVABCD\) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm