Question

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại B , DA vuông góc với (ABC), AB = BC=a và AD=\(a\sqrt{3}\) . Tính góc giữa BD với các mặt phẳng (ABC) và (DAC)

Answer 1

\(DA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AB\) là hình chiếu của BD lên (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{DBA}\) là góc giữa BD và (ABC)

\(tan\widehat{DBA}=\frac{AD}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{DBA}=60^0\)

Gọi H là trung điểm AC \(\Rightarrow BH\perp AC\) (tam giác cân thì trung tuyến tại đỉnh là đường cao)

\(AD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AD\perp BH\)

\(\Rightarrow BH\perp\left(ACD\right)\Rightarrow\widehat{BDH}\) là góc giữa BD và (DAC)

\(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\Rightarrow BH=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=2a\)

\(\Rightarrow sin\widehat{BDH}=\frac{BH}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{BDH}\approx20^042'\)