Cho tam giác ABC vuông tại B, có AB = 5cm, AC = 13cm.
1. Tính độ dài cạnh BC và so sánh các góc của tam giác ABC;
2. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh tam giác ACD cân;
3. Gọi M là trung điểm của CD. Đường thẳng AM cắt cạnh BC tại G. Tính độ dài đoạn thẳng GB;
4. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt cạnh AC tại N. Chứng minh ba điểm D, G, N thẳng hàng.
giúp mị với !!!
1) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại B, ta có:
\(AC^2=AB^2+CB^2\)
⇔\(CB^2=AC^2-AB^2=13^2-5^2=144\)
hay \(CB=\sqrt{144}=12cm\)
Xét ΔABC có AB<CB<AC(5cm<12cm<13cm)
mà góc đối diện với cạnh AB là \(\widehat{ACB}\)
và góc đối diện với cạnh CB là \(\widehat{CAB}\)
và góc đối diện với cạnh AC là \(\widehat{ABC}\)
nên \(\widehat{ACB}< \widehat{CAB}< \widehat{ABC}\)(định lí 1 về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)
2)Xét ΔCBA vuông tại B và ΔCBD vuông tại B có
CB là cạnh chung
BA=BD(B là trung điểm của AD)
Do đó: ΔCBA=ΔCBD(hai cạnh góc vuông)
⇒CA=CD(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔCAD có CA=CD(cmt)
nên ΔCAD cân tại C(định nghĩa tam giác cân)
3) Xét ΔCAD có
CB là đường trung tuyến ứng với cạnh AD(B là trung điểm của AD)
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh CD(M là trung điểm của CD)
CB\(\cap\)AM={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔCAD(tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
hay \(BG=\frac{1}{3}\cdot CB\)
⇔\(BG=\frac{1}{3}\cdot12=4cm\)
Vậy: GB=4cm
4) Ta có: G là trọng tâm của ΔCAD(cmt)
⇒DG là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(1)
Ta có: MN⊥BC(gt)
AD⊥BC(AB⊥BC, D∈AB)
Do đó: MN//AD(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
⇒\(\widehat{CMN}=\widehat{CDA}\)(hai góc đồng vị)(2)
Ta có: MN//AD(cmt)
⇒\(\widehat{CNM}=\widehat{CAD}\)(hai góc đồng vị)(3)
Ta có: ΔCDB=ΔCAB(cmt)
⇒\(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{CDA}=\widehat{CAD}\)(4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat{CMN}=\widehat{CNM}\)
Xét ΔCMN có \(\widehat{CMN}=\widehat{CNM}\)(cmt)
nên ΔCMN cân tại C(định nghĩa tam giác cân)
⇒CM=CN(5)
Ta có: M là trung điểm của CD(gt)
⇒\(CM=\frac{CD}{2}\)(6)
Ta có: CD=CA(cmt)
⇒\(\frac{CD}{2}=\frac{CA}{2}\)(7)
Từ (5), (6) và (7) suy ra \(CN=\frac{CA}{2}\)
mà C,N,A thẳng hàng
nên N là trung điểm của CA
Xét ΔCDA có N là trung điểm của CA(cmt)
nên DN là đường trung tuyến ứng với cạnh CA(định nghĩa đường trung tuyến của tam giác)(8)
mà DG và DN có điểm chung là D(9)
nên từ (1), (8) và (9) suy ra D,G,N thẳng hàng(đpcm)
