Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC.Chứng minh tam giác ACM cân

Answer 1

Kẻ MD là tia đối của tia MA và MD = MA

Xét \(\Delta\)BMA và \(\Delta\)CMD có:

BM = CM (suy từ gt)

\(\widehat{BMA}\) = \(\widehat{CMD}\) (đối đỉnh)

MA = MD (ở trên)

=> \(\Delta\)BMA = \(\Delta\)CMD (c.g.c)

=> BA = CD (2 cạnh t/ư)

và \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{CDM}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD

=> \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{DCA}\) = 180^o (trong cùng phía)

=> 90^o + \(\widehat{DCA}\) = 180^o

=> \(\widehat{DCA}\) = 90^o

Do đó \(\Delta\)DCA vuông tại C

Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A và \(\Delta\)CDA vuông tại C có:

AC chung

AB = CD (c/m trên)

=> \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)CDA (cgv - cgv)

=> BC = DA (2 cạnh t/ư)

mà AM = \(\frac{1}{2}\)DA => AM = \(\frac{1}{2}\)BC

do CM = \(\frac{1}{2}\)BC (M là tđ qua BM = CM)

=> AM = CM

Do vậy \(\Delta\)ACM cân tại M.