Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ phân giác BD của góc B ( D thuộc AC ) , kẻ AH vuông góc BD ( H thuộc BD ) , AH cắt BC tại E .
a ) Chứng minh : \(\Delta BHA=\Delta BHE\)
b ) Chứng minh : ED vuông góc với BC
c ) Chứng minh AD < DC
d ) Kẻ AK vuông góc với BC ( K thuộc BC ) . Chứng minh : AE là phân giác của góc CAK
a) Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBHE vuông tại H có
BH là cạnh chung
\(\widehat{ABH}=\widehat{EBH}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), H∈BD, E∈BC)
Do đó: ΔBHA=ΔBHE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
b) Ta có: ΔBHA=ΔBHE(cmt)
⇒BA=BE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE(cmt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), E∈BC)
BD là cạnh chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED(c-g-c)
⇒\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{BAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AC)
nên \(\widehat{BED}=90^0\)
hay DE⊥BC(đpcm)
c) Ta có: ΔBAD=ΔBED(cmt)
⇒AD=ED(hai cạnh tương ứng)(1)
Xét ΔDEC có \(\widehat{DEC}=90^0\)(DE⊥BC)
nên ΔDEC vuông tại E(định nghĩa tam giác vuông)
Xét ΔDEC vuông tại E có:
DC là cạnh đối diện với \(\widehat{DEC}=90^0\)
nên DC là cạnh huyền trong ΔDEC vuông tại E
mà trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất
nên DC là cạnh lớn nhất trong ΔDEC
⇒DC>DE(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD<DC(đpcm)
d) Ta có: DE⊥BC(cmt)
AK⊥BC(cmt)
Do đó: DE//AK(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
⇒\(\widehat{KAE}=\widehat{DEA}\)(3)
Xét ΔDAE có DA=DE(cmt)
nên ΔDAE cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{DEA}=\widehat{DAE}\)(hai góc ở đáy)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{KAE}=\widehat{DAE}\)
hay \(\widehat{KAE}=\widehat{CAE}\)
mà tia AE nằm giữa hai tia AK,AC
nên AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\)(đpcm)
