a) Ta có: M và D đối xứng với nhau qua AB(gt)
và MD\(\cap\)AB={E}
nên E là trung điểm của MD và MD⊥AB
Ta có: DE⊥AB(do DM⊥AB; E∈MD)
AF⊥AB(do AC⊥AB; F∈AC)
Do đó: DE//AF(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
F là trung điểm của AC(gt)
Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DF//AB và \(DF=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: DF//AB(cmt)
mà E∈AB(gt)
nên DF//AE
Xét tứ giác AEDF có
DE//AF(cmt)
DF//AE(cmt)
Do đó: AEDF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành AEDF có \(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\); E∈AB; F∈AC)
nên AEDF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Xét ΔAMD có
AE là đường trung tuyến ứng với cạnh DM(do E là trung điểm của DM)
AE là đường cao ứng với cạnh DM(AB⊥DM; E∈AB)
Do đó: ΔAMD cân tại A(định lí tam giác cân)
⇒AM=AD(1)
Ta có: AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của ΔABC vuông tại A(do D là trung điểm của BC)
nên \(AD=\frac{BC}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(BD=CD=\frac{BC}{2}\)(D là trung điểm của BC)
nên AD=BD(2)
Xét ΔBMD có
BE là đường cao ứng với cạnh MD(MD⊥AB; E∈AB)
BE là đường trung tuyến ứng với cạnh MD(do E là trung điểm của MD)
Do đó: ΔBMD cân tại B(định lí tam giác cân)
⇒BM=BD(3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra AM=AD=BD=BM
Xét tứ giác ADBM có AM=AD=BD=BM(cmt)
nên ADBM là hình thoi(định nghĩa hình thoi)
c) Ta có: ME=ED(do E là trung điểm của MD)
mà ED=AF(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
nên ME=AF
Xét tứ giác AFEM có
ME//AF(do ED//AF; M∈ED)
ME=AF(cmt)
Do đó: AFEM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AM//EF(hai cạnh đối trong hình bình hành AFEM)
Bạn tự vẽ hình nha
a, Ta có : D là trung điểm BC
F là trung điểm AC
=> DF là đường trung bình \(\Delta ABC\)
=> DF // AB và DF = \(\frac{1}{2}AB\)
Mà \(AB\perp AC\) => \(DF\perp AC\) => \(\widehat{DFA}=90^o\)
Tứ giác AEDF có : \(\widehat{EAF}=\widehat{AED}=\widehat{DFA}=90^o\)
=> AEDF là hình chữ nhật
b, Ta có : D,F lần lượt là trung điểm BC,AC
=> E là trung điểm AB
Tứ giác ADBM có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=> ADBM là hình bình hành
Mà \(DM\perp AB\)
=> ADBM là hình thoi
c, Ta có : ADBM là hình thoi
=> AM // BD
Mặt khác : EF là đường trung bình tam giác ABC
=> EF // BD
=> AM // EF
