Cho Tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB,E là trung điểm đối xứng với M qua D
a) Biết AB=6cm;Ac=8cm.Tính AM
b) Chứng minh rằng điểm E đối xứng với M qua AB
c) Tứ giác AEMC , AECM là hình gì?Vì sao?
d) Tính chu vi tứ giác AEBM
e) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?
Câu a :
Theo định lý py - ta - go cho \(\Delta ABC\) ta có :
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\)
Do AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.10=5cm\)
Câu b :
Ta có :
\(AM=MB\)
\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại M
\(\Rightarrow ME\) là đường trung trực của\(\Delta ABM\)
Hay E đối xứng với M qua AB
Câu c :
Ta có :
\(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DM=\dfrac{1}{2}AC\\DM//AC\end{matrix}\right.\) (1)
Mà E đối xứng với M qua D (2)
Từ 1 và 2
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EM=AC\\EM//AC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ACEM\) là hình bình hành (đpcm)
Ta có :
\(AM=BM\) (1)
Ta lại có :
\(\left\{{}\begin{matrix}DA=DB\\DE=DM\end{matrix}\right.\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow AEBM\) là hình bình hành (2)
Từ 1 và 2
\(\Rightarrow AEBM\) là hình thoi (đpcm)
Câu d :
Ta có :
\(AM=5cm\) ( câu a )
Do \(AEBM\) là hình thoi nên :
\(P_{AEBM}=a\times4=5\times4=20cm\)
Câu e :
Để \(AEBM\) là hình vuông thì :
\(\widehat{AMB}\) phải là góc vuông
Nên \(\Delta ABC\) cần có điều kiện là \(AB=AC\)
