Question

Cho tam giác ABC vuông tại A , Đường cao AH \(\left(H\in BC\right)\). Từ H kẻ \(HE\perp AB,HF\perp AC\).

a,Tính AH biết AB=6 cm, AC=8cm

b,c/m AE.AB=AE.AC

c, O là TĐ của BC .Chứng minh \(AO\perp EF\)

d,Tìm đk của tam giác ABC để \(S_{_{ }ABC}=2_{AFHE}\)

Answer 1

a: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4.8\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

c: Gọi M là giao điểm của AO và EF

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính FE

Xét (FE/2) có

\(\widehat{AFE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

\(\widehat{AHE}\) là góc nội tiếp chắn cung AE

Do đó: \(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)

=>\(\widehat{AFE}=\widehat{B}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên AO=CO

=>ΔOAC cân tại O

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)

\(\widehat{MAF}+\widehat{MFA}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{AMF}=90^0\)

=>AO\(\perp\)FE