Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D thuộc AB; E thuộc AC). Vẽ F đối xứng với H qua điểm D.
a) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật và AFDE là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm BC vẽ N đối xứng M qua AC. Chứng minh AMCN là hình thoi.
c) Chứng minh AM \(\perp\) DE.
Tự vẽ hình
a) + CM ADHE là hình chữ nhật
Xét tứ giác ADHE, ta có:
\(\widehat{BAC}=90^0\) ( do tam giác ABC vuông tại A )
\(\widehat{HDA}=90^0\) ( do \(HD\perp AB\) )
\(\widehat{HEA}=90^0\) ( do \(HE\perp AC\) )
=> ADHE là hình chữ nhật
+ CM AFDE là hình bình hành
Vì ADHE là hình chữ nhật (cmt)
Nên HD = AE
Mà HD = FD ( do F đối xứng với H qua D )
=> AE = FD (1)
Lại có: HD // AE ( do hình chữ nhật ADHE )
Hay FD // AE ( Vì F,D,H thẳng hàng ) (2)
Từ (1) và (2) => AFDE là hình bình hành
b) Gọi I là giao điểm của MN và AC
Vì M đối xứng với N qua AC (gt)
Nên \(MN\perp AC\)
Mà \(AB\perp AC\)
=> MN // AB
Xét tam giác ABC, ta có:
M là trung điểm của BC (gt)
MN // AB (cmt)
=> I là trung điểm của AC
Lại có: I là trung điểm của MN ( do M đối xứng với N qua AC )
=> AMCN là hình bình hành (1)
Và: AC vuông góc với MN (2)
Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi
