Lời giải:
a)
Xét tam giác $ABH$ và $CAH$ có:
\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}(=90^0)\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}(=90^0-\widehat{BAH})\)
\(\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle CAH(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}\Rightarrow AH^2=BH.CH\)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{4.9}=6\) (cm)
Theo công thức lượng giác:
\(\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\Rightarrow \widehat{B}\approx 56,31^0\)
\(\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\approx 33,69^0\)
b)
Nếu $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì $O$ chính là trung điểm của $BC$
$\widehat{ABO}=\widehat{B}\neq 60^0$ (đã tính ở trên) nên $ABO$ không thể là tam giác đều (bạn xem lại đề)
c)
Ta có:
\(MH=MB+BH=BO+BH=\frac{BC}{2}+BH=\frac{BH+CH}{2}+BH=\frac{4+9}{2}+4=10,5\) (cm)
\(MC=MH+CH=10,5+9=19,5\) (cm)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}\) (cm)
\(AM=\sqrt{AH^2+MH^2}=\sqrt{6^2+10,5^2}=\frac{3\sqrt{65}}{2}\) (cm)
Vậy chu vi tam giác $AMC$ là:
\(p=AM+AC+MC=\frac{3\sqrt{65}}{2}+3\sqrt{13}+19,5\approx 42,41\) (cm)
