Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là phân giác của B. Từ D kẻ DM vuông góc với BC tại M.
a, Tính độ dài đoạn BC. Biết AB=6cm, AC=8cm.
b, Chứng minh tam giác ABD = tam giác DMB.
c, Đường thẳng MD cắt AB tại F. Gọi H là trung điểm của FC. Chứng minh rằng D, B, H thẳng hàng

Answer 1

a) Áp dụng định lý Pytago ta có: 

\(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta MBD\) có:

\(\widehat{BAD}=\widehat{BMD}=90^0\\ \widehat{ABD}=\widehat{MBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\)

\(BD\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta MBD\) (ch-gn)

c) Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta MDC\) có:

\(\widehat{DAF}=\widehat{DMC}=90^0\)

\(DA=DM\) (2 cạnh tương ứng)

\(\widehat{ADF}=\widehat{MDC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta MDC\) (g.c.g) \(\Rightarrow AF=MC\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(AB=BM\) (hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow AB+AF=BM+MC\Rightarrow BF=BC\)

\(\Rightarrow\Delta BCF\) cân tại \(B\) mà \(H\) là trung điểm \(FC\)

\(\Rightarrow BH\perp CF\)

Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}FM\perp BC\\AC\perp BF\\FM\cap AC=D\end{matrix}\right.\Rightarrow D\) là trực tâm tam giác \(BCF\)

\(\Rightarrow BD\perp CF\)

Vậy \(B,D,H\) thẳng hàng