a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (gt)
\(\Rightarrow BC^2=AC^2+BC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=16^2+16^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=256+256\)
\(\Leftrightarrow BC^2=512\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{512}\left(cm\right)\)
b) Ta có: \(AM\perp BC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^0\)
Xét \(\Delta AMB\) có \(\widehat{AMB}=90^0\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow\Delta AMB\) vuông tại M.
Xét \(\Delta AMC\) có \(\widehat{AMC}=90^0\left(cmt\right)\) \(\Rightarrow\Delta AMC\) vuông tại M.
Xét \(\Delta ABC\) có \(AB=AC\left(=16cm\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại \(A\)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\)
Xét \(\Delta AMB\) vuông và \(\Delta AMC\) vuông, ta có:
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
\(AB=AC\)
\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow MB=MC\) (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow\) \(M\) là trung điểm của \(BC\)
c) Ta có:
+) \(BC=\sqrt{512}\left(cm\right)\) (cmpa)
\(\Rightarrow MB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{512}}{2}\)
Xét \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\) (cmpb)
\(\Rightarrow AB^2=AM^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AM^2=AB^2-MB^2\)
\(\Leftrightarrow AM^2=16^2+\left(\dfrac{\sqrt{512}}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow AM^2=256+\dfrac{\sqrt{512}^2}{2^2}\)
\(\Leftrightarrow AM^2=256+\dfrac{512}{4}\)
\(\Leftrightarrow AM^2=256+128\)
\(\Leftrightarrow AM^2=384\)
\(\Rightarrow AM=\sqrt{384}\)
d) Ta có:
+) \(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\) (cmpb)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (2 góc tương ứng)
mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)
Vậy .........
cmt là chứng minh trên, cmpa là chứng minh phần a, cmpb là chứng minh phần b. Chúc bạn học tốt 
