a) Theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
BC = \(\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)
Vì BF là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) nên ta có:
\(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{FC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{AF}{6}=\dfrac{8-AF}{10}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{5AF}{30}=\dfrac{3\left(8-AF\right)}{30}\)
\(\Leftrightarrow5AF=3\left(8-AF\right)\)
\(\Leftrightarrow5AF=24-3AF\)
\(\Leftrightarrow5AF+3AF=24\)
\(\Leftrightarrow8AF=24\)
\(\Leftrightarrow AF=3\left(cm\right)\)
Và \(FC=8-AF\) = 8 - 3 = 5 (cm)
b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAB\) ta có:
\(\widehat{ABC}\) là góc chung (1)
\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90^0\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HAB\) (G-G)
c) Xét \(\Delta ABF\) và \(\Delta HBE\) ta có:
\(\widehat{BAF}=\widehat{BHE}=90^0\) (3)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (gt) (4)
Từ (3), (4) \(\Rightarrow\Delta ABF\sim\Delta HBE\) (G-G) (5)
Từ (5) \(\Rightarrow\dfrac{FA}{EH}=\dfrac{BF}{BE}\) (6)
Ta có:
\(\widehat{ABH}+\widehat{C_1}=90^0\) (2 góc phụ nhau) (7)
\(\widehat{ABH}+\widehat{A_1}=90^0\) (2 góc phụ nhau) (8)
Từ (7), (8) \(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{A}_1\) (9)
Xét \(\Delta CBF\) và \(\Delta ABE\) ta có:
\(\dfrac{FC}{EA}=\dfrac{BF}{BE}\) (10)
Từ (6), (10) \(\Rightarrow\dfrac{FA}{EH}=\dfrac{FC}{EA}\Leftrightarrow EH.FC=EA.FA\)
