Question

cho tam giác ABC vuông tại A . CD là tia phân giác của góc ACB . AH là đường cao tam giác ABC . Kẻ Dx//AH cắt BC tại E. Trên tia đối tia AC lấy F sao CF=BC. Chứng minh E,D,F thẳng hàng

Answer 1

Lời giải:

Lấy $ED$ giao $AC$ tại $F'$

Vì $D$ là chân đường phân giác góc \(\widehat{ACB}\) nên \(DE=DA\)

Dễ thấy \(\triangle CED=\triangle CAD (\text{g.c.g})\)\(\Rightarrow \frac{CE}{CA}=\frac{ED}{AD}=1(1)\)

Xét hai tam giác vuông \(BDE,F'DA\) có \(\widehat{F'DA}=\widehat{BDE}\) và \(\widehat{DEB}=\widehat{DAF'}=90^0\) nên

\(\triangle BDE\sim \triangle F'DA\Rightarrow \frac{BE}{F'A}=\frac{DE}{DA}=1(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow 1=\frac{BE}{F'A}=\frac{CE}{CA}=\frac{BE+CE}{F'A+AC}=\frac{BC}{CF'}\Rightarrow BC=CF'\)

Mà \(BC=CF\), \(F,F'\) cùng phía nên \(F\equiv F'\)

Do đó \(D,E,F\) thẳng hàng.