a) Xét ΔABM vuông tại A và ΔHBM vuông tại H có
BM chung
\(\widehat{ABM}=\widehat{HBM}\)(BM là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), H∈BC)
Do đó: ΔABM=ΔHBM(cạnh huyền-góc nhọn)
b) Ta có: ΔABM=ΔHBM(cmt)
⇒AM=HM(hai cạnh tương ứng)(1)
Xét ΔMHC vuông tại H có MC là cạnh huyền(vì MC là cạnh đối diện với \(\widehat{MHC}=90^0\))
nên MC là cạnh lớn nhất trong ΔMHC vuông tại H(trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
hay HM<MC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM<CM(đpcm)
c) Sửa đề: Chứng minh BM⊥EC
Ta có: ΔABM=ΔHBM(cmt)
⇒BA=BH(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAME vuông tại A và ΔHMC vuông tại H có
MA=MH(cmt)
\(\widehat{AME}=\widehat{HMC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔAME=ΔHMC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒AE=HC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: BE=BA+AE(A nằm giữa B và E)
BC=BH+HC(H nằm giữa B và C)
mà BA=BH(cmt)
và AE=HC(cmt)
nên BE=BC
hay B nằm trên đường trung trực của EC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: ΔAME=ΔHMC(cmt)
⇒ME=MC(hai cạnh tương ứng)
hay M nằm trên đường trung trực của EC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (3) và (4) suy ra BM là đường trung trực của EC
hay BM⊥EC(đpcm)
d) Chứng minh AH//EC
Ta có: BA=BH(cmt)
hay B nằm trên đường trung trực của AH(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Ta có: MA=MH(cmt)
hay M nằm trên đường trung trực của AH(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Từ (5) và (6) suy ra BM là đường trung trực của AH
hay BM⊥AH
Ta có: BM⊥AH(cmt)
BM⊥EC(cmt)
Do đó: AH//EC(định lí 1 từ vuông góc tới song song)(đpcm)
