a) Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{CAE}=90^o\) (1)
Lại có: \(\widehat{BAD}+\widehat{DBA}=90^o\) (t/c tgv) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\widehat{BAD}+\widehat{CAE}=\widehat{BAD}+\widehat{DBA}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{DBA}\)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại D và \(\Delta CAE\) vuông tại E có:
AB = AC (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\widehat{DBA}=\widehat{CAE}\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta CAE\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BD=AE\); \(AD=CE\) (cặp cạnh t/ư) (3)
Ta lại có: \(AE+AD=DE\) (4)
Thay (3) vào (4) đc:
\(BD+CE=DE\)
Ta có BAD+ BAC+CAE= 180
mà BAC=90 => BAD+ CAE=90 (1)
Do \(\Delta\)AEC vuông tại E nên CAE+ ACE=90 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BAD=ACE
Xét \(\Delta\)DBA vuông tại D và \(\Delta\)EAC vuông tại E có:
AB= AC ( do \(\Delta\)ABC cân tại A)
BAD=ACE ( c/m trên )
=>\(\Delta\)DBA = \(\Delta\) EAC ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> DA= EC ( 2 cạnh tương ứng)
và BD=AE ( tương ứng)(*)
Ta co: DE = DA + AE (***)
Do DA= EC ( c/m trên ) (**)
Thay (*) ,(**) vào (***) ta đc : DE= BD+CE
b)
Nối A với M. Do tam giác ABC vuông cân tại A nên ABM=45
Xét tam giác AMB và tam giác AMC có
AB = AC( suy từ g/t)
AM chung
MB=MC ( do m là trung điểm của BC)
=> tam giác AMB = tam giác AMC ( ccc)
=> BAM= CAM (tương ứng) (3)
và AMB= AMC (4)
Lại có BAM+ CAM=90 (5)
Từ (3) và (5) suy ra BAM=45
Do đó BAM=ABM = 45 nên ABM cân tại M=> MB=MA
Do AMB + AMC =180 ( kề bù)
Từ (5) và (7) suy ra AMB=90
Mặt khác MAC =MBA=45
CAE = ABD ( tam giác DBA = tam giác AEC)
=> MAE = MBD
Xét tam giác AME và tam giác BMD có
AM=BM ( do m là TĐ của BC)
MAE = MBD ( c/m trên )
Ae = BD ( c/ m trên )
=> tam giác AME = tam giác BMD ( cgc)
=> ME = MD ( tương ứng) nên tam giác MDE vuông tại M(*)
Vì tam giác AME = tam giác BMD nên AME=BMD (9)
Do đó: DME= DMA+ AME (8)
Thay ( 8) vào (9) ta đc: DME = DMA+ BMD = AMB=90
Suy ra DME vuông tai M (**)
Từ (*) và (**) suy ra DME vuông tại M
