a) Do A'M và BC cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường nên tứ giác A'BMC là hình bình hành
\(\Rightarrow MC//A'B;MC=A'B\). (1)
Tương tự ta có \(MC//AB';MC=AB'\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB'//A'B;A'B=AB'\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AB'A'B là hình bình hành
\(\Rightarrow\) AA' và BB' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tương tự, BB' và CC' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy AA', BB', CC' đồng quy.
b) Gọi G là giao điểm của AK và MN.
\(\Delta AMA'\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}KA'=KM\\NA=NA'\\G\in AK\cap MN\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của tam giác AMA'
\(\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AK\).
\(\Delta ABC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}KB=KC\\G\in AK\\AG=\frac{2}{3}AK\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
