Question

Cho tam giác ABC nội tiếp (O); H là trực tâm của tam giác. Cho M là 1 điểm thuộc cung BC không chứa A (M≠ B ≠ C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB, AC

a, CMR: N,H,P thẳng hàng

b, Tìm vị trí của M để \(\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MC}\) đạt Min với \(\widehat{BOC}=120^0\)

Answer 1

a: Gọi giao của BH với AC là E, AH với BC là F, CH với AB là I

=>HECF nội tiếp

=>góc AHE=góc ACB

=>góc AHE=góc AMB=góc ANB

=>AHBN nội tiếp

=>góc NAB=góc NHB=góc MAB=góc BAM

CHứng minh tương tự, ta được:

góc PHC=góc MAC

=>góc NHB+góc PHC=góc BAM+góc MAC=góc BAC

góc NHB+góc PHC+góc BHC=180 độ

=>N,H,P thẳng hàng

b: Gọi J là điểm chính giữa của cung lớn BC

góc BOC=120 độ

=>góc BJC=60 độ

=>ΔBJC đều

Trên JM lấy K sao cho MK=MB

=>ΔJKB=ΔCMB

=>BM+MC=JM

1/BM+1/CM>=4/(MB+MC)=4/JM

JM lớn nhất khi JM là đường kính của (O)

=>M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC