Question

Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DB, lấy điểm M sao cho DM =DB. Trên tia đối của tia EC, lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng: A là trung điểm của MN.

Answer 1

Lời giải:

Xét tam giác $AEN$ và $BEC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} AE=BE\\ EN=EC\\ \widehat{AEN}=\widehat{BEC}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AEN=\triangle BEC(c.g.c)\)

\(\Rightarrow AN=BC(1); \widehat{ANE}=\widehat{BCE}\). Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên \(AN\parallel BC(2)\)

Hoàn tương tự:

\(\triangle ADM=\triangle CDB(c.g.c)\Rightarrow AM=CB(3); \widehat{AMD}=\widehat{CBD}\). Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên \(AM\parallel BC(4)\)

Từ \((2);(4)\Rightarrow AN\parallel AM\Rightarrow A,M,N\) thẳng hàng

Từ \((1);(3)\Rightarrow AM=AN\)

Do đó $A$ là trung điểm của $MN$

Ta có đpcm.

Answer 2

Hình vẽ: