Ta có hình vẽ:
Bài giải:
a) Áp dụng định lý Pita go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow8^2+6^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=100\)
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)
b) Xét △ABC và △ADC, có:
AC là cạnh chung
\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=90^0\)
\(AB=AD\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta ADC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\\BC=DC\end{matrix}\right.\) (Các cặp cạnh và góc tương ứng)
Xét △BEC và △DEC, có:
\(\widehat{ECB}=\widehat{ECD}\) (Chứng minh trên)
\(BC=DC\) (Chứng minh trên)
EC là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta BEC=\Delta DEC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
c) Ta có: \(\Delta BEC=\Delta DEC\) (Câu b)
\(\Rightarrow BC=DC\) (Hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại C
Xét △BCD, có:
CA là đường cao ứng với đỉnh C
⇒ CA đồng thời là đường trung tuyến của tam giác BCD (Tính chất đường đồng quy trong tam giác cân)
Mặt khác: Theo đề ra, ta có:
\(AE=2\left(cm\right);AC=6\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow CE=AC-AE=6-2=4\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow CE=\dfrac{2}{3}CA\)
Suy ra được điểm E là trọng tâm của tam giác BCD (Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác)
⇒ DE đồng thời là đường trung tuyến của tam giác BCD ứng với cạnh BC
⇒ DE đi qua trung điểm của cạnh BC
\(\Rightarrowđpcm\)
Kết luận:
a) \(BC=10\left(cm\right)\)
b) \(\Delta BEC=\Delta DEC\left(c.g.c\right)\)
c) DE đi qua trung điểm của cạnh BC
