a: Ta có: ΔABH vuông tại H
mà HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB
nên HM=AB/2=AM=BM
Ta có: ΔACH vuông tại H
mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
nên HN=AC/2=AN=NC(1)
Ta có: MA=MH
nên M nằm trên đường trung trực của AH(1)
Ta có: NA=NH
nên N nằm trên đường trung trực của AH(2)
từ (1) và (2) suy ra MN là đường trung trực của AH
b: Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
N là trung điểm của AC
Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC
Suy ra: MN//BC
hay MN//HP
Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB
P là trung điểm của BC
Do đó: MP là đường trung bình của ΔABC
Suy ra: MP=AC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra MP=HN
Xét tứ giác MNPH có MN//PH
nên MNPH là hình thang
mà MP=HN
nên MNPH là hình thang cân
a, Gọi \(MN\cap AH=\left\{O\right\}\)
Ta có: M là trung điểm AB, N là trung điểm AC
\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) MN // BC \(\Rightarrow\) MO // BH
Mà \(AH\perp BC\Rightarrow AH\perp MN\Leftrightarrow AH\perp MO\) (1)
Áp dụng hệ quả của định lý Talet vào \(\Delta ABH\) ta có:
\(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{2}{1}\Rightarrow AH=2AO\)
\(\Rightarrow\) O là trung điểm AH (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(MN\perp AH\) tại trung điểm O của AH.
Hay MN là đường trung trực của đoạn AH.
b, Vì MN // BC \(\Rightarrow\) MN // HP \(\Rightarrow\)MNPH là hình thang.
Lại có: M là trung điểm AB, P là trung điểm BC
\(\Rightarrow\) MP là đường trung bình \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}AC\) (3)
Xét \(\Delta AHC\) có: HN là đường trung tuyến của cạnh AC.
\(\Rightarrow HN=\dfrac{1}{2}AC\) (4)
(Trong 1 tam giác vuông bất kỳ, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác sẽ có độ dài bằng 1/2 cạnh huyền)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) MP = HN
Hình thang MNPH có 2 đường chéo MP và HN bằng nhau nên MNPH là hình thang cân.
