a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
Xét tứ giác BHCK có
M là trung điểm của đường chéo BC(gt)
M là trung điểm của đường chéo HK(H và K đối xứng nhau qua M)
Do đó: BHCK là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b)
*Chứng minh BK⊥AB
Ta có: CF⊥AB(CF là đường cao của ΔABC)
mà H∈CF(BE\(\cap\)CF={H})
nên CH⊥AB
Ta có: CH⊥AB(cmt)
CH//BK(hai cạnh đối trong hình bình hành BHCK)
Do đó: BK⊥AB(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
*Chứng minh CK⊥AC
Ta có: BE⊥AC(BE là đường cao ứng với cạnh AC của ΔABC)
mà H∈BE(BE\(\cap\)CF={H})
nên BH⊥AC
Ta có: BH⊥AC(cmt)
BH//KC(hai cạnh đối trong hình bình hành BHCK)
Do đó: AC⊥CK(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
c) Chứng minh BIKC là hình thang cân
Gọi J là giao điểm của HI và BC
mà HI cắt BC tại trung điểm của HI(H và I đối xứng nhau qua BC)
nên J là trung điểm của HI
Xét ΔHIK có
J là trung điểm của HI(cmt)
M là trung điểm của HK(H và K đối xứng nhau qua M)
Do đó: JM là đường trung bình của ΔHIK(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒JM//IK và \(JM=\frac{IK}{2}\)(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
hay IK//BC
Xét tứ giác IKCB có IK//BC(cmt)
nên IKCB là hình thang(định nghĩa hình thang)
Xét ΔCHI có
CJ là đường trung tuyến ứng với cạnh HI(CJ⊥HI)
CJ là đường cao ứng với cạnh HI(CJ là đường trung trực của HI)
Do đó: ΔCHI cân tại C(định lí tam giác cân)
⇒CI=CH
mà CH=BK(hai cạnh đối trong hình bình hành BHCK)
nên CI=BK
Xét hình thang BIKC có CI=BK(cmt)
nên BIKC là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
