Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BC lấy điểm M trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN
a)Chứng minh tam giác AMN cân;
b)Kẻ BE vuông góc AM (E thuộc AM), CF vuông góc AN (F thuộc AN).Chứng
minh rằng tam giác BME = tam giác CNF
c)EB và FC kéo dài cắt nhau tại O Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN
d) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN chúng cắt nhau ở H Chứng minh ba điểm A,O,H thẳng hàng.
***Nhanh nhé mk đag cần gấp!!!
a) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét ΔABM và ΔACN có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)
BM=CN(gt)
Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)
⇒AM=AN(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: ΔABM=ΔACN(cmt)
⇒\(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{EMB}=\widehat{FNC}\)
Xét ΔEMB vuông tại E và ΔFNC vuông tại F có
BM=CN(gt)
\(\widehat{EMB}=\widehat{FNC}\)(cmt)
Do đó: ΔEMB=ΔFNC(cạnh huyền-góc nhọn)
c) Ta có: ΔEMB=ΔFNC(cmt)
⇒\(\widehat{EBM}=\widehat{FCN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{EBM}=\widehat{OBC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{FCN}=\widehat{OCB}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
Xét ΔOBC có \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)(cmt)
nên ΔOBC cân tại O(định lí đảo của tam giác cân)
⇒OB=OC
Xét ΔABO và ΔACO có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AO là cạnh chung
OB=OC(cmt)
Do đó: ΔABO=ΔACO(c-c-c)
⇒\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)(hai góc tương ứng)
Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
EB=CF(ΔEBM=ΔFCN)
Do đó: ΔABE=ΔACF(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Ta có: \(\widehat{BAO}+\widehat{BAM}=\widehat{MAO}\)(tia AB nằm giữa hai tia AO,AM)
\(\widehat{CAO}+\widehat{CAN}=\widehat{NAO}\)(tia AC nằm giữa hai tia AO,AN)
mà \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)(cmt)
và \(\widehat{BAM}=\widehat{CAN}\)(ΔABE=ΔACF)
nên \(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)
mà tia AO nằm giữa hai tia AM,AN
nên AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)(đpcm)
d) Ta có: \(\widehat{AMN}+\widehat{HMN}=\widehat{AMH}=90^0\)(tia MN nằm giữa hai tia MA,MH)
\(\widehat{ANM}+\widehat{HNM}=\widehat{ANH}=90^0\)(tia NM nằm giữa hai tia NA,NH)
mà \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)(hai góc ở đáy của ΔAMN cân tại A)
nên \(\widehat{HMN}=\widehat{HNM}\)
Xét ΔHMN có \(\widehat{HMN}=\widehat{HNM}\)(cmt)
nên ΔHMN cân tại H(định nghĩa tam giác cân)
⇒HM=HN
hay H nằm trên đường trung trực của MN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: AM=AN(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của MN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Xét ΔMAO và ΔNAO có
AM=AN(cmt)
\(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\)(cmt)
AO là cạnh chung
Do đó: ΔMAO=ΔNAO(c-g-c)
⇒OM=ON(hai cạnh tương ứng)
hay O nằm trên đường trung trực của MN(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,O,H thẳng hàng (đpcm)
a)
b) ΔAMN cân tại A
=> \(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
Hay: \(\widehat{EMB}=\widehat{FNC}\)
Xét 2 tam giác vuông ΔEMB và ΔFNC ta có:
Cạnh huyền: MB = CN (GT)
\(\widehat{EMB}=\widehat{FNC}\) (cmt)
=> ΔEMB = ΔFNC (c.h - g.n)
c) Có: ΔEMB = ΔFNC (câu b)
=> EM = FN (2 cạnh tương ứng)
Có: AE + EM = AM
AF + FN = AN
Mà: EM = FN (cmt) và AM = AN (câu a)
=> AE = AF
Xét 2 tam giác vuông ΔAEO và ΔAFO ta có:
AO: cạnh chung
AE = AF (cmt)
=> ΔAEO = ΔAFO (c.h - c.g.v)
=> \(\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\) (2 góc tương ứng)
=> AO là phân giác của \(\widehat{EAF}\)
Hay: AO là phân giác của \(\widehat{MAN}\)
