Question

cho tam giác ABC cân tại A(góc A<90*). Các đường cao AK,BD,CE cắt nhau tại H.

CM BD=CE, t.g BHC cân.

Trên HK lấy M sao cho K là trung điểm HM. CM BD//MC, t.g AMC vuông.

BD+AC>2HC +HD

Answer 1

a) Xét ΔBEC và ΔCDB có:

BC chung; \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(ΔABC cân) và \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}\left(=90^o\right)\)

⇒ΔBEC = ΔCDB(ch-gn) (ĐPCM)

⇒\(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\)⇒ΔBHC cân tại H (ĐPCM)

b)Trong Δcân, đường cao cũng là đường trung tuyến⇒BK=CK

Xét ΔBHK và ΔCMK có:

BK=CK; HK=HM; \(\widehat{HKB}=\widehat{CKM}\)

⇒ΔBHK = ΔCMK(c.g.c)⇒\(\widehat{HBK}=\widehat{KCM}\)⇒BD//MC(so le trong) (ĐPCM)

⇒\(\widehat{BDC}=\widehat{ACM}=90^o\) (\(\widehat{BDC}+\widehat{ACM}=180^o\) ) (ĐPCM)

c)Vì góc A<90^o nên\(\widehat{MAC}< 45^o\Rightarrow\widehat{AMC}>45^o>\widehat{MAC}\)

\(\Rightarrow AC>MC=BH=HC\)(1)

H nằm trên BD suy ra HD+HC=HD+BH=BD(2)

Từ (1) và (2), ta có:

\(AC+BD>HD+HC+HC=HD+2.HC\)(ĐPCM)