Question

Cho tam giác ABC cân tại A và 2 đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K. Chứng minh

a)Tam giác BNC=Tam giác CMB

b)Tam giác BKC cân tại A

c)BC<4.KM

Answer 1

a) Xét hai tam giác BNC và CMB có:

BN = CM (gt)

\(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

BC: cạnh chung

Vậy: \(\Delta BNC=\Delta CMB\left(c-g-c\right)\).

b) Vì \(\Delta BNC=\Delta CMB\left(cmt\right)\)

Suy ra: \(\widehat{BCN}=\widehat{CBM}\) (hai góc tương ứng)

Do đó: \(\Delta BKC\) cân tại K.

Answer 2

Cho mình mượn bài bạn Ngân Hải để giải câu c).

c)Vì BM, CN cắt nhau tại K nên K là trọng tâm ΔABC, áp dụng tính chất 3 đường trung tuyến, ta có:

\(BK=\dfrac{2}{3}BM;KM=\dfrac{1}{3}BM\\ \Rightarrow BK=2KM\)

Mà BK=CK (do ΔBKC cân tại K)

nên BK=CK=2KM ⇒ BK+CK=4KM

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ΔBKC có:

BC<BK+CK

Mà BK+CK=4KM

nên BC<4KM

Vậy BC<4KM.

Answer 3